Cómo Se Calcula El Área De Un Triángulo

Área del triángulo – Diccionario de Matemáticas El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2, La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Hallar el área del siguiente triángulo :

Contents

1 ¿Cómo calcular el área de un triángulo es?
- - 1.0.1 ¿Cómo se calcula el área y el perímetro de un triángulo?
- 1.1 ¿Qué es el área y cómo se mide?
2 ¿Cuál es el área y el perímetro?
3 ¿Cómo se calcula la base de un triángulo rectángulo?
- - 3.0.1 ¿Qué es un triángulo equilátero isósceles y escaleno?
4 ¿Cómo se mide el perímetro de un triángulo?
5 ¿Cómo sacar el área de un rectángulo con sus lados?
6 ¿Cómo se mide el área de un círculo?
- 6.1 ¿Cuál es el área y el perímetro?
7 ¿Cómo se mide la altura de un triángulo?
8 ¿Cuál es la fórmula para calcular el perimetro de un triángulo?
- 8.1 ¿Cómo se mide el perímetro de un triángulo?

¿Cómo calcular el área de un triángulo es?

Área de un triángulo. El área o superficie de un triángulo cualquiera es igual al producto de la base por la altura dividido por dos.

¿Cómo se calcula el área y el perímetro de un triángulo?

Área y perímetro de un triángulo Si la base del triángulo es de 5 cm, la altura de 5 cm y el lado restante de 9: Perímetro: 5 + 5 + 9 = 19 cm. Área: (5 X 5) / 2 = 25/2 = 12.5 cm2.

¿Qué es el área y cómo se mide?

El área puede ser definida como la medida de la superficie, y se descubre partir de multiplicar la base por la altura. Utilizamos esta expresión cuando vamos a calcular la superficie por ejemplo, de un campo de fútbol u otro deporte.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo equilátero?

El área de un triángulo equilátero se obtiene al multiplicar la base (a) por la altura (h) y dividir entre 2.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo isósceles?

¿Cómo se calcula el área del triángulo isósceles? Multiplicaremos la base por la altura y dividiremos por dos. ¡Recuerda! La principal propiedad del triángulo isósceles es que la mediana de la base, la bisectriz y la altura son lo mismo, es decir, coinciden.

¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?

Fórmula del área de un rectángulo. Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos el largo por el ancho.

¿Cuál es el área y el perímetro?

Generalización de los procedimientos del cálculo del perímetro y del área

Generalización de los procedimientos del cálculo del perímetro y del área
Aprendizaje esperado: f ormula expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de figuras geométricas y verifica equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las figuras),
Énfasis : g eneralizar los procedimientos de cálculo del perímetro y área de las figuras por medio de la introducción de literales para representar las dimensiones de las figuras.
¿Qué vamos a aprender?

Hoy aprenderás a generalizar los procedimientos del cálculo del perímetro y del área de algunas figuras por medio del uso de literales. Además, resolveremos y analizaremos algunas situaciones matemáticas relacionadas con este tema. Trabajarás con algunas figuras geométricas, así como con sus áreas y perímetros.

El perímetro es la medida del contorno de una figura poligonal que se obtiene al sumar sus lados y se mide en unidades lineales, como centímetros o metros.
El área es la medida de la superficie plana de una figura que se mide con unidades cuadradas, como centímetros cuadrados o metros cuadrados.
También sabemos que el área y el perímetro de una figura geométrica se obtienen a través de diferentes procesos y con diferentes fórmulas.
Veamos el siguiente problema para mostrarlo.

Bruno está planeando iniciar un negocio de elaboración de manteles de diferentes formas y tamaños. Ha pensado en algunas figuras que podría utilizar como plantilla, éstas son: un cuadrado, un triángulo equilátero, un rectángulo y un hexágono regular. Para saber la cantidad de material que va a utilizar en la elaboración de cada mantel, necesita calcular el área y el perímetro de las figuras que ya seleccionó. Para calcular el perímetro, se suma cada uno de los lados de la figura, a+a+a+a ; al tratarse de una suma repetida del mismo valor, el perímetro se puede expresar también como 4a, en donde la literal “a” representa el lado del cuadrado, De esta manera sabemos que con la expresión P=4a, podemos obtener el perímetro de cualquier cuadrado.

Analiza: si Bruno elabora manteles en forma de cuadrado de 4 metros de lado, para calcular el perímetro es necesario sumar los cuatro lados de la figura.
¿Y sólo sumando se puede encontrar el perímetro?

También puedes multiplicar por cuatro la medida del lado. En este ejemplo, multiplicamos 4 lados por los 4 metros que mide cada lado de la figura, así sabemos que el perímetro del mantel será de 16 metros lineales.

Para calcular el área, multiplica 4 metros por 4 metros, como lo indica la expresión, porque 4 metros es lo que mide por lado el cuadrado, así sabemos que el área del mantel será de 16 metros cuadrados.
En este caso, el perímetro y el área tienen la misma magnitud, pero diferentes unidades, porque, como ya dijimos, son propiedades diferentes.
Para elaborar manteles en forma rectangular, Bruno sabe también que esta figura tiene cuatro lados con dos pares de lados iguales.
De manera que, para conocer el perímetro de un rectángulo, hay que sumar la medida de cada uno de sus lados, b+d+b+d; considerando que esta figura tiene dos pares de lados iguales, esta expresión también se puede representar como 2b+2d, en donde “b” representa el largo o base del rectángulo, y “d” el ancho o alto.

Calcular el área del rectángulo es un proceso similar a la del cuadrado. Tomando en cuenta que la superficie se mide mediante unidades cuadradas, en este caso basta con contar la cantidad de cuadrados que hay en la superficie del rectángulo, o bien multiplicar la medida del largo (b) por la medida del ancho (d), así sabemos que la expresión A= bxd (b por d) puede utilizarse para calcular el área de cualquier rectángulo.

Si Bruno decide hacer manteles en forma de rectángulo que midan 4 metros de largo y 2 metros de ancho, para calcular el perímetro se suman los cuatro lados de la figura.
También puedes sumar los productos 2 por 4 metros y 2 por 2 metros, y de esta manera sabemos que el perímetro del mantel tendrá 12 metros de longitud.
Como sabrás, para calcular el área se utiliza la expresión A=bxd, por esta razón multiplicamos la medida del largo (4 metros) por la medida del ancho (2 metros) y así sabemos que el área de un mantel de forma rectangular de 4 metros de largo y 2 metros de ancho es de 8 metros cuadrados.

Mira a tu alrededor: ¿qué objetos tienen forma de rectángulo o de cuadrado?, ¿Podrías utilizar algunas de las expresiones que acabamos de revisar con el cuadrado y el rectángulo para calcular su perímetro y área?

¿Qué pasa si Bruno necesita hacer manteles en forma de triángulo equilátero?
Debe tomar en cuenta que se trata de una figura de tres lados iguales y, para calcular su perímetro, hay que sumar la medida de cada lado, esto es, b+b+b.
También puedes expresar el perímetro de la siguiente manera: 3b (el triple del valor de b), en donde la literal “b” representa la medida de lado de cualquier triángulo equilátero.
Respecto del área, recuerda que, en comparación con un rectángulo de la misma base y altura que el triángulo, éste siempre representará la mitad de su área; de esta forma, para calcular el área de un triángulo, se multiplica la base por la altura y el resultado se divide entre dos.
Este proceso se generaliza con la expresión que seguramente ya conocen: el área del triángulo es igual a base por altura sobre dos.
Si Bruno tiene pensado hacer una plantilla para elaborar manteles en forma de triángulo equilátero que midan 4 metros de lado, entonces puede sumar la medida de los tres lados del triángulo: 4+4+4, y al efectuar la suma obtenemos 12 metros, que corresponden a la medida del contorno o perímetro del mantel.
Es más eficiente si multiplicamos 3 por los 4 metros que mide cada lado, y también obtenemos 12 metros como resultado.

Ahora observa qué pasa con el área. ¿Qué tiene que hacer Bruno si lo que quiere saber es el área del mantel en forma de triángulo equilátero? Utilizaste la expresión base por altura entre dos, multiplicando los 4 metros de la base por los 3.5 metros de altura aproximadamente y el producto lo dividiste entre 2, así sabes que el mantel tendría una superficie de 7 metros cuadrados aproximadamente.

Ahora ve qué sucede si Bruno necesita hacer manteles en forma de hexágono regular.
Como ya sabes, un hexágono regular es un polígono de 6 lados iguales y 6 ángulos interiores iguales.
¿Y cómo calculas el perímetro y el área de un hexágono?
Cualquier superficie plana de lados rectos como los polígonos, y en este caso, del hexágono regular, pueden dividirse en triángulos y así calcular su área como la suma de las áreas de dichos triángulos.
Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros; observa.
Al dividir el hexágono a partir del centro hacia sus vértices, obtenemos 6 triángulos iguales con igual medida de base y altura.

Con base en lo anterior, aun sin conocer la medida del lado del hexágono, sabemos que todos sus lados miden lo mismo, porque se trata de una figura regular. En conclusión, el perímetro se obtiene sumando c+c+c+c+c+c, o bien multiplicando 6c (seis por “c”), en donde la literal “c” representa el lado de cualquier hexágono regular.

¿Y qué sucede con el área?
Hace un momento explicamos que un hexágono regular puede ser descompuesto en 6 triángulos con igual base y altura.

Esta información te ayudará a establecer una expresión que permita calcular el área del hexágono. Pero antes, debes saber que en un polígono regular la altura de los triángulos en los que se descompone se llama apotema, y es la distancia de su centro al punto medio de cualquiera de los lados del polígono regular.

Una forma de calcular el área de un hexágono regular a partir de la descomposición en triángulos es sumar el área de los 6 triángulos obtenidos, o bien calcular el perímetro de la figura y multiplicar el resultado por la medida del apotema, dividiendo el producto obtenido entre dos.
Ahora Bruno sabe que con la expresión A=p(a)/2 (área es igual al perímetro por la apotema entre dos), es posible obtener el área de cualquier hexágono regular
Verifica que las expresiones antes mencionadas nos ayudan a calcular el perímetro y el área de un hexágono regular.

Si Bruno elabora un mantel en forma de hexágono que mida 4 metros de lado y tiene 3.5 metros de apotema.

Utiliza la expresión 6c para calcular el perímetro del mantel, esto es, multiplicar 6 lados por los 4 metros que tiene cada lado del hexágono; al efectuar la multiplicación obtienes 24 metros que corresponden al perímetro del mantel.
Esto puede parecer muy fácil, pero tengo una duda: ¿esta expresión también se aplica para el área?

Considera que para el área usamos la expresión A = P(a)/2 (área es igual al perímetro por apotema sobre dos), multiplicamos el perímetro (24 metros) por el apotema (3.5 metros) y dividimos el producto entre 2. De esta forma, sabes que la superficie de un mantel en forma de hexágono regular de 4 metros de lado y 3.5 metros de apotema es de 42 metros cuadrados.

Ahora pon en práctica lo que has aprendido con el siguiente problema. Bruno hizo los siguientes diseños para hacer algunos manteles de papel. Él dice que, si se respetan las medidas de éstos, se utilizará la misma cantidad de papel para cada uno, aunque sus formas sean diferentes. ¿Qué piensan de lo que dice Bruno? Puedes comenzar por analizar los diseños.

El primero se trata de un mantel rectangular formado por tres cuadrados de lado “x”. El segundo diseño se presenta en forma de estrella, para la que se ocupa 1 cuadrado de lado “x” y 4 triángulos de base y altura “x”. ¿Será verdad que ocupan la misma área?

Sí ocupan la misma área, porque si observas los diseños, se ve que cada triángulo equivale a la mitad de un cuadrado.
Para estar seguros y seguras de lo que Bruno dice, es necesario comparar el área de las dos figuras.
No conocemos la medida del lado del cuadrado, pero se tomó como referencia el mismo tamaño para los dos diseños, porque están representados con la misma literal, lo que significa que se trata de la misma medida desconocida.
El primer diseño ocupa tres cuadrados, al igual que el segundo, porque para obtener los triángulos del segundo diseño, se requiere hacer algunos cortes que se acomodan para armar la figura del mantel.
A partir del análisis que has realizado, puedes concluir que Bruno tiene razón: si se respetan las medidas de cada uno de los diseños, se utiliza la misma cantidad de papel.
No importando el diseño, nos damos cuenta de que el área es la misma, porque las expresiones que la representan son equivalentes.
Te invitamos a poner a prueba tus conocimientos adquiridos resolviendo el nuevo reto que enfrenta Bruno.
Ahora Bruno ha decidido contribuir al cuidado del medio ambiente, tener un negocio socialmente responsable y comprometido con el cuidado del medio ambiente; por tal motivo, ha decidido hacer sus manteles con papel reciclado y, además, reducir la cantidad de papel empleado en su elaboración, esto con base en el nuevo diseño que producirá ahora.
Inicialmente el diseño se elaboraba con 5 cuadrados, posteriormente se realizaba con 3 y ahora los realizará con tan sólo 2 cuadrados, como se muestra a continuación.
¿Logrará Bruno reducir realmente la cantidad de papel que se utiliza para la elaboración de los manteles con sus nuevos diseños?
Depende de las medidas de los cuadrados que utilice Bruno.

Sabes que x representa cualquier medida para los tres diseños. Observa sus diseños.

Nota que tómo como referencia nuevamente cuadrados del mismo tamaño, porque representa la medida de lado con la misma literal “x”.
Quizá nos ayude a comprobarlo si calculamos el perímetro y el área de los diseños como lo hicimos en el problema anterior.
Comencemos por analizar el perímetro de cada diseño.
El primer mantel está compuesto por 5 cuadrados de lado “x”.
Para calcular el perímetro, se suman todos los lados de la figura, siendo el perímetro del diseño uno del mantel igual a la suma de 12 veces el valor que representa la literal “x”, o bien el producto de 12 por el valor de la literal “x”.
En el diseño dos del mantel, la medida de los lados es diferente porque se representa con la literal “y”.
Para calcular el perímetro, se suman todos los lados de la figura, y el perímetro del diseño dos del mantel es igual a la suma de 8 veces el valor que representa la literal “y”, o bien el producto de 8 por el valor de la literal “y”.
Por último, para calcular el perímetro del diseño tres del mantel, únicamente se suman cada uno de los lados de la figura, expresados como un medio de “x” y 2w; al efectuar las operaciones obtenemos la expresión 2x+8w, que representa el perímetro del mantel.

Entonces, la primera expresión y la segunda expresión en cada diseño, ¿representan lo mismo? Sí, ambas expresiones en cada diseño son equivalentes.

Ahora analiza el perímetro resultante de cada diseño con ayuda de la siguiente tabla: “Perímetro de figuras”.
Al comparar la expresión algebraica que representa el perímetro de cada diseño que Bruno elaboró, puedes notar que los tres resultados son diferentes, esto significa que las tres figuras tienen un perímetro distinto.
¿Qué representan las expresiones contenidas en la tabla en relación con los diseños del mantel?
Representan la medida del contorno de los manteles, es decir, el perímetro de cada diseño.

Para saber la cantidad de papel en metros cuadrados que necesita Bruno para elaborar los diseños de mantel, ¿qué necesitas calcular?, ¿área o perímetro?

Con lo que hemos visto, ahora lo que necesitamos calcular es el área, porque lo que buscamos es la medida de la superficie que ocupa cada diseño y ésta se da en metros cuadrados.
Atenta y atento a lo siguiente:
Si observas y analizas detenidamente el diseño número uno, está construido por 5 cuadrados, cuya medida del lado está representada por la literal “x”.
Para su elaboración, los cinco cuadrados se acomodan en forma de una cruz.
El diseño número 2 está compuesto por tres cuadrados, la medida de cada lado está expresada por la literal “x”; es decir que los cuadrados que se ocupan para este diseño y el anterior tienen la misma medida porque se representan con la misma literal.
En este diseño, dos de los cuadrados se cortan para dar la forma de estrella al mantel.
Por último, puedes ver que el diseño 3 se compone de 2 cuadrados del mismo tamaño que los cuadrados de los diseños anteriores, porque la medida de cada lado se representa con la literal “x”, pero, al igual que en el diseño dos, se hicieron cortes a las figuras originales para dar forma al mantel.
Sí, uno de los cuadrados se corta por la mitad, y los rectángulos que resultan se cortan en diagonal para obtener cuatro triángulos que se acomodan para dar forma al diseño del mantel.
Al comparar los tres diseños, y observar la cantidad de papel empleado en la elaboración de cada uno, podemos notar que Bruno logró disminuir la cantidad de papel.
Si se fuera a cubrir una mesa cuadrada de lado x, con lo que quedaría cubierta esa superficie, que es equis cuadrada, tendría cada diseño un faldón.

El diseño uno tendría cuatro faldones cuadrados de lado x; para el diseño 2, cuatro faldones en forma de triángulo de base y altura equis. El tercer diseño tendría cuatro faldones en forma de triángulo con base equis y altura 1/2 (un medio) de equis. Al calcular el área de cada diseño a partir de la suma de los cuadrados que los componen, comprobamos que Bruno disminuyó la cantidad de papel en la elaboración de sus manteles.

La primera pregunta que tiene José es: ¿qué forma tiene el terreno?
Como podrás notar, el terreno de José es el de color verde, al observarlo nos damos cuenta de que sus lados son iguales, en este caso, representados con la literal “x” (equis).
Sabes que el cuadrado es una figura geométrica que pertenece a los paralelogramos porque tiene cuatro lados que miden lo mismo y son paralelos dos a dos.
¿Recuerdas qué quiere decir dos a dos?
Que tiene dos lados paralelos e iguales entre sí, y los otros dos también son paralelos e iguales entre sí.
Además de los cuatro lados iguales, posee cuatro ángulos interiores que miden 90 grados, es decir, son ángulos rectos, y la suma de sus cuatro ángulos interiores es igual a 360 grados; entonces el terreno de José corresponde a la figura geométrica de un cuadrado porque cumple con todas estas características.
Al observar y analizar los terrenos que se encuentran junto al de José, identificados con color azul y amarillo, podemos notar que los de color azul corresponden a la figura del rectángulo porque sus lados son iguales dos a dos.

Recuerda que los rectángulos tienen dos lados opuestos paralelos que tienen la misma medida. Además, otra característica de los rectángulos es que sus ángulos son rectos.

¿Recuerdas a qué se refiere con tener ángulos rectos?
Se refiere a que un ángulo recto es igual a 90°.
Las figuras en color azul corresponden a rectángulos porque se encuentran compuestas por cuatro lados, de los cuales dos tienen una longitud y los dos restantes otra, y además forman cuatro ángulos rectos de 90°.
Para el caso de las figuras de color amarillo, corresponden a un cuadrado que tienen las mismas características, pero que, además, los cuatro lados del cuadrado miden lo mismo.

Al comprar los terrenos, ¿qué forma tendrá la granja?, ¿Sabes la respuesta?

Tendrá forma rectangular porque tendrá mayor longitud en su largo, comparado con la longitud del ancho.
Como podrás notar, el largo del terreno de la granja estará aumentado en tres unidades, mientras que en su ancho sólo estará excedido en una; esto es, el largo está representado por la expresión de “x” más tres, y el ancho, por la expresión “x” más uno.
¿Es posible calcular el perímetro del terreno verde?
Recuerda que el perímetro de una figura plana es la medida de su contorno, para el caso de la figura verde, que corresponde a un cuadrado, es posible expresar su perímetro como 4 equis, es decir, cuatro veces el valor del lado equis.

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Para poder saber las dimensiones del nuevo terreno que tendrá la granja, una vez que se han adquirido los terrenos que muestra la imagen, es necesario saber, en primer lugar, ¿cuál es el ancho del nuevo terreno? Y al mismo tiempo, ¿cuál será el largo del nuevo terreno? Es importante, en primer lugar, establecer la magnitud del largo y del ancho a través de la información que se proporciona mediante la imagen; en este caso, se representará cada una de las expresiones a través de una tabla.

Entonces, para el caso del ancho, la primera expresión es equis más uno, ya que no hay términos semejantes que podamos reducir.
De acuerdo con la imagen, ¿qué valores pueden tener las medidas del terreno total?
El nuevo terreno tendrá de ancho equis más tres, y de largo, equis más uno, como se observa en la imagen.

José comprará el terreno que necesita para la ampliación de su granja, irá adquiriendo de forma mensual cada uno. En primer lugar, comprará los terrenos de color azul y posteriormente los de color amarillo. El costo de cada terreno depende de su tamaño, si José desconoce las medidas de los terrenos que quiere adquirir y únicamente sabe el costo que pagará por cada metro cuadrado

¿Qué expresión permite calcular el área de cada terreno?
Depende de la forma de cada terreno, porque si observamos, hay terrenos cuadrados y rectangulares.
Por lo que, para poder ayudar a José, es necesario analizar cada una de las figuras y expresar sus medidas con la información que se proporciona en la imagen.
Representa a través de una tabla los datos que te permiten conocer la superficie de cada figura.

Para el caso del cuadrado verde: la longitud de sus lados está representada con la literal equis, y su expresión algebraica se expresa como el producto de equis por equis (x)(x). Al realizar la multiplicación, obtenemos el área, que se representa como equis cuadrada, o bien equis elevada a la segunda potencia.

En segundo lugar, tenemos el rectángulo azul; el largo de la figura es equis, y su ancho corresponde a uno, la expresión algebraica que representa el área es el producto de equis por uno; al efectuar la multiplicación obtenemos como producto equis, que representa el área del rectángulo.
Ahora te toca: ¿cuál es el área del cuadrado amarillo?
Eso está muy fácil, en el cuadrado amarillo las medidas por lado son igual a uno, de manera que la expresión que representa el área se expresa como la multiplicación de uno por uno; al final se obtiene el área, que es igual a uno.
Otra manera de representar el área del terreno total de José es analizar la forma que tiene el terreno total, como es posible observar, corresponde a un rectángulo.

Representa la longitud de su largo con la expresión equis más tres, y su ancho con la expresión equis más uno. Así obtendrás la expresión algebraica del producto de equis más tres por equis más uno.

Para que José pueda saber la superficie de su terreno total, una vez adquiridos los terrenos, sólo necesitará sustituir el valor que representa la literal equis y efectuar las multiplicaciones correspondientes, y podrá hallar el valor del área total.
Analiza el siguiente problema:

El largo del campo de fútbol de la colonia mide 30 metros más que el ancho. Encuentra sus dimensiones y calcula su perímetro y su área. Para poder resolver el problema, es necesario hacer una representación gráfica del campo de fútbol. ¿Qué forma tiene? Es un rectángulo.

Como te habrás dado cuenta, la figura que representa el campo de fútbol corresponde a un rectángulo, lo que significa que tiene dos lados iguales dos a dos, es decir, sus pares de lados paralelos son iguales. Para obtener el perímetro es necesario sumar los cuatro lados del campo de fútbol. A través de la tabla se muestran las expresiones que representan la suma de las medidas de cada lado, se realiza la reducción de términos semejantes hasta obtener la expresión algebraica que representa el perímetro del campo de futbol, siendo ésta cuatro equis más sesenta.

Para obtener el área del campo de fútbol es posible utilizar la expresión A=bxh. Si el largo es x+30 y el ancho es “x”, el área del será el producto de x+30 por x (equis), así obtenemos la expresión algebraica x cuadrada + 30x, o bien equis elevada a la segunda potencia más treinta equis.

Con lo que has aprendido hoy, determina el valor del perímetro y del área del campo de fútbol si el ancho “x” tuviera un valor de 70 metros.
Ahora sabes que generalizar los procedimientos del cálculo del perímetro y del área de figuras geométricas, significa representar los procedimientos de resolución por medio de expresiones algebraicas o fórmulas.
Algunas de las expresiones que estudiamos son las siguientes.
Figura geométrica: cuadrado, cuya medida por lado es a.
Expresión para calcular su perímetro:
a+a+a+a=4ª
Expresión para calcular su área:
“a” cuadrada
Figura geométrica: rectángulo, la medida de su base es b y su altura mide d.
Expresión para calcular su perímetro:
d+b+b+d=2b+2d
Expresión para calcular su área:
Be por de
Figura geométrica: triángulo, la medida de su base es b y su altura mide h.
Figura geométrica: cuadrado, cuya medida por lado es a.
Expresión para calcular su perímetro:
a+a+a+a=4ª
Expresión para calcular su área:
“a” cuadrada
Figura geométrica: rectángulo, la medida de su base es b y su altura mide d.
Expresión para calcular su perímetro:
d+b+b+d=2b+2d
Expresión para calcular su área:
Be por de
Figura geométrica: triángulo, la medida de su base es b y su altura mide h.
Expresión para calcular su perímetro:
b+b+b=3b
Expresión para calcular su área:
Base por altura entre dos
¡Ahora tienen más herramientas para resolver este tipo de problemas!
El r eto de h oy:
Revisar lo aprendido en tu libro de Matemáticas de segundo grado y resuelve algunos de los ejercicios de tu libro de texto.
¡Buen trabajo!
Gracias por tu esfuerzo.
Para saber más:
Lecturas

https://www.conaliteg.sep.gob.mx/ : Generalización de los procedimientos del cálculo del perímetro y del área

¿Qué nos dice el teorema de Pitágoras?

Teorema de Pitágoras Aprendizaje esperado: r esuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras. Énfasis: e nunciar el Teorema de Pitágoras. ¿Qué vamos a aprender? Enunciarás el teorema de Pitágoras, analizarás su utilidad y uso en tu vida diaria.

También identificarás las ecuaciones que se pueden utilizar para encontrar cualquier dato del triángulo rectángulo.
Dichas ecuaciones, las encontrarás realizando despejes en el enunciado del Teorema de Pitágoras.
Los materiales que utilizarás serán: cuaderno de apuntes, juego de geometría, bolígrafo, marcador, colores, lápiz y goma.

Además, necesitarás algunas hojas de colores, triángulos recortables en cartulina y sólo si es posible, una hoja milimétrica. Recuerda que anteriormente, analizaste las características del triángulo rectángulo, y la asombrosa relación que tiene el área de los cuadrados de cada uno de sus catetos, con el área del cuadrado de la hipotenusa. Si se tiene un triángulo rectángulo de lados a, b y c, siendo a y b los catetos, es decir, los lados que forman un ángulo recto, y se construyen cuadrados usando cada uno de los lados del triángulo, con sus áreas respectivas a cuadrada, b cuadrada y c cuadrada Entonces este teorema dice que ” En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

En otras palabras, si a un triángulo rectángulo, le trazas un cuadrado en cada uno de sus lados, siendo este lado, la medida del lado del cuadrado, y obtienes el área de cada uno de ellos; el área del cuadrado de la hipotenusa, que es el lado mayor, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos, que son los lados menores que forman el ángulo recto.

Algebraicamente se puede decir: a cuadrada + b cuadrada = c cuadrada, en donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. Tal vez es un poco complejo, ya que es el enunciado de un Teorema que, por cierto, es una herramienta muy útil. Realizarás un ejemplo numérico, para que se despejen las dudas. Numéricamente podrías decir que, si tienes un triángulo rectángulo con medidas de 3, 4 y 5 unidades por lado, y obtienes sus cuadrados, las áreas serán 9, 16 y 25 unidades cuadradas respectivamente. Este ejemplo no sólo es una aplicación del Teorema de Pitágoras, también es lo que se denomina una “terna Pitagórica”, es decir, tres números naturales que cumple con el Teorema de Pitágoras. Se pueden encontrar otras ternas pitagóricas, desde los babilonios y los egipcios ya se conocía esta relación entre tres números con la característica de que cumplen el teorema de Pitágoras. En la primera tabla observas ternas primitivas, en la segunda tabla tomas la primera terna y obtienes múltiplos de ella que, a su vez, son ternas pitagóricas. Así puedes hacer con cada terna pitagórica, y como puedes observar, hay infinidad de ternas. Considera el caso. Observa los triángulos rectángulos. Expresa algebraicamente el teorema considerando la hipotenusa en función de las otras dos variables. Recuerda que la hipotenusa es el lado más grande y se encuentra enfrente del ángulo recto. Entonces: En el primer triángulo tienes que z es la hipotenusa, por lo tanto, x y y son los catetos, entonces obtienes que z cuadrada = x cuadrada + y cuadrada y en el segundo triángulo, observa que la hipotenusa es m y los que forman el ángulo recto son los lados n y o.

Considéralos como catetos, obteniendo que m cuadrada = n cuadrada + o cuadrada. Ya observaste que no importa en qué posición se encuentre el triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre se obtiene a través de la suma de los catetos y, las expresiones anteriores son útiles cuando nos falta la hipotenusa, pero no siempre es así.

Para calcular algún cateto es necesario utilizar otras expresiones, las cuales obtienes a partir del teorema de Pitágoras. ¿Cómo podrías obtener estas expresiones? Partes de la expresión general c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada, que observaste anteriormente para calcular la hipotenusa, ahora, resta el termino b cuadrada en ambos miembros para que en el segundo miembro se cancele el término b cuadrada por tener signo opuesto y la ecuación queda así, c cuadrada – b cuadrada = a cuadrada. Con lo anterior compruebas a través de las áreas, la relación del cateto faltante con los datos proporcionados. La operación que corresponde es la resta del cuadrado del cateto conocido del cuadrado de la hipotenusa. ¿Qué piensas que ocurra, si el valor desconocido ahora es el cateto b? Observa: Nuevamente partes de la expresión general c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada que utilizas para calcular la hipotenusa. Ahora resta el término a cuadrada en ambos miembros para cancelar a cuadrada que tiene el mismo valor, pero signo opuesto y queda así, c cuadrada – a cuadrada = b cuadrada. Observa cómo al trabajar con las áreas de cada lado del triángulo rectángulo y, al restar ahora el área del cateto a de 16 unidades cuadradas del área de la hipotenusa de 25 unidades cuadradas, encuentras que el resultado es de 9 unidades cuadradas es el área del cateto b. En el primer triángulo rectángulo, que además es isósceles, es decir, sus lados son iguales, obtienes que el cateto x cuadrada = z cuadrada – y cuadrada y que el cateto y cuadrada = z cuadrada – x cuadrada. En este triángulo el valor de x es igual a y. Puedes utilizar una expresión algebraica equivalente dependiendo del dato desconocido o el lado que se quiera calcular: Utilizando el triángulo original a, b, c, tienes que, cuando falta la hipotenusa, usas c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada. Si falta algún cateto puedes utilizar: a cuadrada = c cuadrada – b cuadrada o bien, b cuadrada = c cuadrada – a cuadrada, que son expresiones equivalentes.

Las últimas dos expresiones se parecen mucho. Si observas al cuadrado de la hipotenusa, le restas el cuadrado del cateto que conoces, es decir, si quieres calcular el cateto “a”, le restas el cuadrado del cateto “b”, pero si quieres el cateto “b”, la diferencia se realiza con el cuadrado del cateto “a”.

Estás calculando el lado faltante como área, es decir, al cuadrado. Pero no has terminado de despejar el lado. Para completar esta acción, con los siguientes triángulos rectángulos, observa: ¿Cuáles son sus lados? es decir, ¿qué lado es la hipotenusa y cuáles son los catetos? ¿Cuál es la expresión algebraica que le corresponde a cada uno? ¿Cómo cambia cada expresión quitándole el cuadrado? Los tres lados que componen tu triángulo rectángulo son muy sencillos de ubicar, con las consideraciones antes mencionadas, tienes que h es la hipotenusa, g e i son los catetos. Para el lado g cuadrada=h cuadrada – i cuadrada, para h cuadrada=g cuadrada + i cuadrada y para i cuadrada=h cuadrada – g cuadrada. Ahora termina de despejar. ¿Sabes qué debes hacer para dejar a la literal sin el cuadrado? debes aplicar la operación inversa del cuadrado, ¿cuál es? la raíz cuadrada. Este triángulo, si lo observas con cuidado, se trata de un triángulo rectángulo e isósceles, en el cual la hipotenusa es e y los catetos son d. Por lo tanto, d cuadrada=e cuadrada – d cuadrada, e cuadrada = d cuadrada + d cuadrada y 2d cuadrada =e cuadrada.

¿Por qué crees que solicitan 2d cuadrada? porque se pueden agrupar los dos catetos ya que tienen el mismo valor, es decir, se trata de la misma literal. Ahora, para despejar la literal, tienes que, al aplicar la operación inversa del cuadrado en ambos términos, obtienes que d = raíz cuadrada de e cuadrada menos d cuadrada; y e = raíz cuadrada de d cuadrada más d cuadrada.

Recuerda que para cancelar el cuadrado del primer miembro hay que aplicar en ambos lados la raíz cuadrada. Así que, sumas para el cálculo de la hipotenusa y restas para obtener los catetos. También recuerda que el orden de la diferencia es importante, al cuadrado de la hipotenusa se le debe restar el cuadrado del cateto. Inicia con un triángulo rectángulo en donde conoces la base de 5 unidades (cateto), su altura de 12 unidades (el otro cateto). ¿Cuánto mide su hipotenusa? Parte de la expresión general para calcular la hipotenusa c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada, sustituyes los valores conocidos de a y b y empiezas a realizar las operaciones: 12 al cuadrado es 144 y 5 al cuadrado es 25, al sumar las cantidades obtienes 169.

Para encontrar el valor de la hipotenusa, aplicas la operación inversa del cuadrado que es la raíz cuadrada en ambos miembros. Eliminando ambas en el primer miembro por ser operaciones contrarias y obtienes la raíz cuadrada del segundo miembro, obtienes que el valor de la hipotenusa es de 13 unidades.

¿Reconociste los valores obtenidos? Se trata de una terna pitagórica. ¿Recuerdas por qué se le nombra así? Porque todos los valores son naturales y cumplen el Teorema de Pitágoras. La posición cambió en este triángulo y el valor desconocido ahora es un cateto, ya que el valor más grande es el de la hipotenusa de 15 unidades y el del otro cateto de 10.6 unidades. La fórmula con la que iniciarás es b cuadrada = c cuadrada – a cuadrada para calcular el cateto.

Sustituyes los valores conocidos de la hipotenusa y el otro cateto. El cuadrado de 15 es 225 y el de 10.6 es 112.36, al realizar la diferencia obtienes 112.6, para encontrar el valor del cateto, aplicas la operación inversa del cuadrado, que es la raíz cuadrada en ambos miembros, en el primer miembro se cancelan las operaciones inversas y la raíz cuadrada en el segundo miembro es de 10.6 unidades.

Truncando el resultado a décimas, puedes observar que el resultado tiene el mismo valor que el otro cateto, esto se debe a que se trata de un triángulo rectángulo isósceles. Conocerás la manera práctica a través de un problema, observando el siguiente video del minuto 5:42 a 8:53 que te dará un ejemplo:

Aplicaciones del teorema de Pitágora s

https://www.youtu b e.com/watch?v=bjkf7a-VUhA Debes leer y comprender qué es lo que solicitan en el problema. Si analizas el procedimiento que siguieron para resolver el problema anterior, puedes concluir que es importante:

Contar con un esquema o dibujo en donde puedas ubicar los datos proporcionados en el problema. Siempre tendrá la forma de un triángulo rectángulo para poder aplicar el Teorema de Pitágoras.
Identificar el valor faltante para aplicar la fórmula que le corresponda.
Sustituir los datos en la ecuación y realizar operaciones

Resuelve los siguientes problemas: Inicia con un problema planteado en un libro de texto de Matemáticas de tercero: Ubica los datos en el dibujo, la base de la escalera es uno de los catetos de 10.5 m, la altura que alcanza la escalera es el otro cateto de 10 m, por lo tanto, el valor faltante es la hipotenusa. Ya que identificaste la hipotenusa como valor faltante, entonces partes de la expresión c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada, sustituyes los valores conocidos y realizas operaciones, 10 al cuadrado es 100 más 10.5 al cuadrado es 110.25, al sumarlos obtienes 210.25 y por último calculas su raíz cuadrada, considerando sólo su valor positivo ya que no hay distancias negativas, teniendo 14.5 m, como largo de la escalera. Los espejos los puedes ingresar en forma diagonal por la puerta rectangular, formando así un triángulo rectángulo y permitir así aumentar el tamaño de los espejos que pueden ingresar. ¿Cómo se puede resolver? Recuerda los pasos para resolver este tipo de problemas: Realiza un esquema de la situación. Sustituye los valores conocidos en la expresión c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada, y realiza operaciones: 2 al cuadrado es 4 más 1 al cuadrado es 1, al sumarlos obtienes 5 y por último calculas la raíz cuadrada considerando sólo su valor positivo ya que no hay distancias negativas, obtienes 2.23 m, como diagonal de la puerta. El salón 1 tiene una puerta de 2m de alto y 2m de ancho, el salón 2 tiene una puerta de 2m de alto y 2.5 m de ancho. ¿Cómo resolver el problema? Encuentra la medida de la diagonal de cada una de las puertas, así formas triángulos rectángulos y acomoda los datos que te proporcionan de alturas y bases que serán tus catetos, e inicia con la expresión c cuadrada = a cuadrada + b cuadrada, ya que es la hipotenusa el lado desconocido.

Después, sustituyes tus datos en la expresión. En el salón 1 calcula, 2 al cuadrado es 4 más 2 al cuadrado es 4, al sumarlos obtienes 8 y por último calculas su raíz cuadrada considerando sólo su valor positivo ya que no hay distancias negativas, obtienes 2.82 m como diagonal de la puerta. Para el salón 2, procederás igual, sustituyes: 2 al cuadrado es 4 más 2.5 al cuadrado es 6.25, al sumarlos obtienes 10.25 y, por último, calculas su raíz cuadrada siendo de 3.2 m.

el valor de la diagonal. Con estos resultados puedes afirmar que el salón 2, es el adecuado para ese tipo de espejos. Ya que su diagonal de 3.2 m es mayor a la altura del espejo de 2.5 m. Ahora, resolverás un problema en el que interviene la semejanza de triángulos y el Teorema de Pitágoras. En este problema, para calcular el valor de “x” primero necesitas calcular la altura del triángulo mayor. Y así, poder aplicar el Teorema de Pitágoras en los dos triángulos, ya que, en ambos, falta la hipotenusa y al sumarlas, determinarás la distancia entre los puntos A y B. Si observas los dos triángulos puedes afirmar que son semejantes ya que sus ángulos son iguales, es decir, el Con ese dato ya puedes calcular el valor de las hipotenusas de ambos triángulos rectángulos. Partes de la expresión algebraica para calcular la hipotenusa que es c = raíz cuadrada de a cuadrada más b cuadrada; y empiezas a sustituir los valores conocidos de cada triángulo.

En el triángulo ACE sustituyes 144 al cuadrado + 108 al cuadrado, realizando operaciones, obtienes 20,736 + 11,664 = 32400, calculas la raíz cuadrada, tomas el valor positivo y obtienes 180 cm como medida de “x”. En el triángulo BDE, sustituyes 64 al cuadrado + 48 al cuadrado, realizando operaciones obtienes 4,096 + 2,304 = 6400, calculas la raíz cuadrada tomas el valor positivo obtienes 80 cm como medida del lado BE.

Por último, para calcular la medida del segmento AB que es la suma de las dos hipotenusas tienes que el segmento AB = 180 + 80 = 260 cm. Realiza el siguiente problema: Un barco observa en su radar el siguiente modelo, en donde se ubica un faro atrás de él y en las profundidades, una ballena. Si observas en el modelo, ahora los valores se proporcionan de forma indirecta, ya que la base del triángulo no mide 25 unidades, porque el faro se encuentra 15 unidades más hacía atrás. Entonces ¿Cuánto mide el total de la base? El total de la base es de 25 +15 unidades es decir 40 unidades y el otro cateto, que es la profundidad, de -15 unidades.

Al pedir la hipotenusa utilizas la expresión c = la raíz cuadrada de a cuadrada + b cuadrada, sustituyes valores y obtienes c = la raíz cuadrada de 40 al cuadrado más -15 al cuadrado, realizas operaciones c = a la raíz cuadrada de 1600 más 225, que es igual a la raíz cuadrada de 1825, calculas la raíz tomando el valor positivo y obtienes que la distancia entre el faro y la ballena es de 42.72 unidades Tiene una gran aplicación el Teorema de Pitágoras y una gran variedad de problemas que tratarás a lo largo de otras sesiones.

El Teorema de Pitágoras tiene una gran influencia social, cultural y educativa. Varios artistas han plasmado, usando diversas técnicas, este resultado geométrico. Incluso otra hermosa representación del teorema es a través del “Árbol de Pitágoras” en donde se genera un fractal. El r eto de h oy : Te sugerimos crear tu propio Árbol de Pitágoras. En una hoja milimétrica de preferencia, en el centro de la hoja traza el modelo geométrico del teorema de Pitágoras, la base será la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con sus respectivas áreas por lado. Ahora, cada cateto será la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos.

Si observas tus nuevos modelos, ahora son más pequeños. Nuevamente, de cada lado de los catetos, realiza la representación geométrica del teorema siendo el lado del cateto la hipotenusa del nuevo, obteniendo modelos más pequeños. El procedimiento antes mencionado, se repite hasta formar el “Árbol Pitagórico” con las dimensiones y colores que tu creatividad decida.

Busca en tu libro de texto todo lo relacionado con este tema, y resuelve los ejercicios que ahí se proponen. Para que así puedas enriquecer tu conocimiento. ¡ Buen trabajo! Graci as por tu esfuerzo. Para saber má s : https://www.conaliteg.sep.gob.mx/

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¿Cómo calcular la altura de un triángulo rectángulo?

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

¿Cuáles son las formulas de área?

Perímetro, área, y volumen

Table 2. Fórmulas de áreas
Forma	Fórmula	Variables
Cuadrado	A = s 2	s es la longitud del lado del cuadrado.
Rectángulo	A = LW	L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).
Triángulo		b y h son la base y la altura.

¿Qué se utiliza para medir el área?

Planimeter GPS Se pueden obtener datos de perímetros, ángulos, áreas y distancias de una zona en poco tiempo. Para ello se van situando marcadores o chinchetas en el mapa y de esta manera se indica cual es el área de medición.

¿Cómo se calcula el área de un objeto?

Para calcular la superficie, es el contorno de la figura, hay que sumar sus lados. Para el area hay que multiplicar los lados, en algunos casos como el triangulo es (base x altura)/2. El área de superficie total de un sólido es la suma de las áreas de todas las caras o superficies que encierran el sólido.

¿Cuál es la fórmula de un triángulo escaleno?

P = a + b + c.

¿Cómo se calcula la base de un triángulo rectángulo?

Trabajar con los lados y ángulos de un triángulo es una parte importante en el aprendizaje de las matemáticas y la geometría. Un triángulo rectángulo es aquel tipo de triángulo que tiene un ángulo de 90 grados, es decir, que sus dos lados más cortos son perpendiculares entre sí.

Cuando en un triángulo rectángulo, conoces la longitud exacta de dos de sus lados podrás utilizar el denominado teorema de Pitágoras para determinar y calcular la longitud del lado que falta.
Toma nota porque te mostramos cómo hacerlo en el siguiente artículo de unComo.
Necesitarás: Pasos a seguir: 1 En primer lugar, debes determinar si es posible encontrar la longitud del lado del triángulo que falta.

Primero, el triángulo debe ser rectángulo es decir que cuente con un ángulo de 90º y además debes conocer como mínimo la longitud de dos de los lados para poder utilizar el teorema de Pitágoras. En el caso de que estos requisitos no se cumplan, no podrás utilizar la fórmula que te mostramos a continuación.2 Primero, te aconsejamos que escribas el teorema de Pitágoras, el cual establece que la suma de los cuadrados de los lados más cortos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado del lado más largo del mismo. 3 Llena la información que tu conoces en la ecuación. Conecta el lado que conoces a las letras correspondientes de la ecuación. El valor de “c” siempre se corresponderá con la mayor cara, pero si tu sabes la longitud de un lado más corto, se puede sustituir por “a” o “b”.4 Ahora lo que tienes que hacer es calcular el cuadrado de los lados que conoces, en este caso conocemos que a = 2 y que c = 5 (2² + b² = 5²). 5 Por último, solo tienes que calcular la raíz cuadrada del número que has obtenido al resolver la ecuación, es decir en este caso de 21. Para llevar a cabo este paso, es aconsejable hacer uso de una calculadora, ya que probablemente la respuesta no será un número entero.

¿Qué es un triángulo equilátero isósceles y escaleno?

¡Adivina cuál es! Fecha transmisión: 18 de Noviembre de 2021 Valoración de la comunidad: Última Actualización: 2 de Agosto de 2022 a las 14:59 Aprendizaje esperado: Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos.

Énfasis: Identificar diferentes triángulos con base en la medida de sus ángulos: Los que tienen un ángulo recto, los que tienen un ángulo de más de 90° y los que tienen todos sus ángulos de menos de 90° ¿Qué vamos a aprender? El día de hoy seguirás aprendiendo a identificar diferentes triángulos con base en la medida de sus ángulos.

Recuerdas que los que tienen un ángulo recto se les conoce como triángulos rectángulos, los que tienen un ángulo de más de 90° se les llama triángulos obtusángulos, y los que tienen todos sus ángulos de menos de 90° se les conoce como triángulos acutángulos.

Lee la siguiente información y observa las imágenes para recordar la clasificación de los triángulos, según el criterio de la medida de sus lados.

Triángulo equilátero Los tres lados (a, b y c) tienen la misma medida. Los tres ángulos interiores son iguales. Triángulo isósceles Tienen dos lados con igual longitud (a y b) y un lado de distinta medida (c). Los ángulos interiores A y B miden lo mismo, y el otro, también agudo, tiene una medida distinta. Triángulo escaleno Los tres lados con medida distinta. Los tres ángulos son también distintos.

Lee la siguiente información y observa las imágenes para recordar la clasificación de los triángulos de acuerdo con los ejes de simetría que se pueden trazar en ellos.

Recuerda que un eje de simetría es la línea imaginaria que divide una figura en dos partes iguales y simétricas. Observa en la imagen anterior que el único triángulo que tiene tres ejes de simetría es el triángulo equilátero; el triángulo isósceles sólo tiene un eje de simetría y el escaleno no tiene ningún eje de simetría.

Lee la siguiente información y observa las imágenes para recordar la clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos.

Los triángulos rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto o de 90° Los triángulos obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso, es decir que mide más de 90° pero menos de 180°. Considerando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, sus otros dos ángulos son agudos, es decir, medirán menos de 90° Los triángulos acutángulos: Tienen sus tres ángulos agudos, por lo que miden menos de 90° y son mayores que 0° Como has visto hasta ahora, un mismo triángulo puede presentar más de una de las características que has estudiado hasta este momento.

Analiza con mucha atención la siguiente tabla donde se resumen las características de los triángulos.

Como puedes observar, los triángulos escaleno, isósceles o equilátero, se pueden nombrar como acutángulo, rectángulo u obtusángulo dependiendo de los ángulos que presenten. Lee con atención la siguiente explicación. En la segunda fila ves que un triángulo escaleno se distingue en general porque cada uno de sus tres lados tiene una medida distinta.

Pero será un triángulo acutángulo como el que se muestra en el cuadrado amarillo, si los tres ángulos que los definen son agudos, es decir miden menos de 90° En el cuadrado verde de la misma fila, observa un ejemplo de triángulo escaleno que es rectángulo si uno de sus ángulos mide exactamente 90°.
Finalmente, en el cuadrado azul, se muestra un triángulo que siendo escaleno también es obtusángulo, ya que uno de sus ángulos mide más de 90° En la tercera fila se muestran tres modelos de triángulos isósceles, que en general se identifican por tener dos lados de igual medida.

En el cuadrado verde claro ves una variante de esta figura, un triángulo acutángulo, ya que tiene sus tres ángulos agudos, es decir, miden menos de 90°. En el cuadrado rosa se muestra un triángulo isósceles porque dos lados son iguales, y al tener un ángulo de 90° también es un triángulo rectángulo.

Por último, en el cuadrado naranja hay un triángulo obtusángulo isósceles, porque tiene dos lados iguales y presenta la característica de tener un ángulo obtuso que mide más de 90° En la última fila se muestra un triángulo equilátero que, como sabes, se identifican por tener lados de igual medida.
En el cuadrado morado se muestra el ejemplo de un triángulo acutángulo, en el que siempre sus tres lados son iguales y sus tres ángulos agudos medirán 60°.

Por su condición de mantener igualdad en sus lados y ángulos, no se pueden trazar o identificar triángulos equiláteros que sean rectángulos u obtusángulos.

Identifica los siguientes triángulos, a partir de las características que se describen.

Descripciones Selecciona todos los triángulos que cumplan con los requisitos que se indican en las tarjetas. Triángulos Utiliza la escuadra, la regla y el transportador del juego de geometría, en caso de tener que comprobar algunas mediciones. Para ello recuerda estas recomendaciones. Los triángulos que cumplan con la característica indicada se colocarán en el espacio que corresponda en el siguiente organizador. Por ejemplo, para la primera tarjeta. Triángulo isósceles que también es un triángulo equilátero. Debes recordar que todo triángulo equilátero es un caso especial de los triángulos isósceles, por presentar un tercer lado de igual medida que los otros dos. Para esta tarjeta, corresponden los siguientes triángulos: Para la tarjeta 2 Triángulo isósceles que no es un triángulo rectángulo. Como debes identificar aquellos triángulos que tengan dos lados iguales, pero que no tengan un ángulo que mida 90° exactamente, entonces puedes elegir aquellos que midan menos o más de 90° Corresponden a los siguientes triángulos: Para la tarjeta 3 Triángulo escaleno que también es un triángulo rectángulo. Como los triángulos deben ser escalenos, deben tener todos sus lados de distinto tamaño, pero además deben tener un ángulo recto, es decir, debe medir exactamente 90° Los triángulos que corresponden son los siguientes: Sigue con la tarjeta cuatro. Triángulo escaleno que no es un triángulo rectángulo. Como se trata de identificar triángulos escalenos debes buscar aquellos cuyos tres lados midan distinto y en los que sus tres ángulos no midan 90° Los triángulos que corresponden son los siguientes: Para la tarjeta cinco. Triángulo isósceles que también es un triángulo rectángulo. Recuerda que los triángulos isósceles deben tener al menos un par de lados iguales, y para ser rectángulo, uno de sus ángulos debe medir exactamente 90°. Aquí no contarás a los triángulos equiláteros ya que, a pesar de que tienen al menos un par de lados de igual medida, sus ángulos miden siempre 60° así que ninguno de ellos tiene un ángulo de 90° Los triángulos que corresponden son los siguientes: Tarjeta seis. Triángulo isósceles que no es triángulo rectángulo o un triángulo equilátero. Los triángulos isósceles deben tener al menos un par de lados de igual tamaño, pero en este grupo no debes considerar los triángulos equiláteros ni aquellos que, teniendo dos lados iguales, tengan ángulos que midan 90° Los triángulos que corresponden son: Tarjeta siete. Triángulo con un ángulo de más de 90° Recuerda que los triángulos que tiene un ángulo que mida más de 90° se llaman obtusángulos. Los triángulos que corresponden son: Tarjeta ocho. Triángulos con todos sus ángulos de menos de 90° Recuerda que los triángulos acutángulos tienen ángulos que miden menos de 90° Los triángulos que corresponden son: ¿Qué te pareció esta actividad? ¿Fácil o difícil? Como pudiste ver, algunos triángulos podían estar en varias casillas por presentar características diversas. Esta situación se debe a las características y similitudes que comparten. El día de hoy has aprendido a identificar diferentes triángulos con base en sus características.

Triángulo equilátero: Las medidas de sus tres lados son iguales.
Triángulo isósceles: Las medidas de dos lados son iguales, es decir, dos lados son congruentes.
Triángulo escaleno: Todas las medidas de sus lados son diferentes, es decir, no tiene lados congruentes.

Cada uno de los ángulos interiores del triángulo puede ser:

Ángulo agudo, si es menor de 90°
Ángulo recto, si es igual a 90°´
Ángulo obtuso, si es mayor de 90° pero menor de 180°

Con base en los ángulos interiores, los triángulos se clasifican en:

Triángulo acutángulo, cuando los tres ángulos interiores son agudos.
Triángulo rectángulo, cuando un ángulo es recto.
Triángulo obtusángulo, cuando un ángulo es obtuso.

Platica con tu familia lo que aprendiste, seguro les parecerá interesante y podrán decirte algo más.

¿Cómo se mide el perímetro de un triángulo?

Perímetro de un triángulo. El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

¿Cuáles son los diferentes tipos de triángulo?

Un triángulo equilátero siempre será acutángulo. Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo o obtusángulo. Un triángulo escaleno puede ser acutángulo, rectángulo o obtusángulo.

¿Cuánto mide el ángulo de un triángulo equilátero?

Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales. Cada uno de estos ángulos mide 60 grados.

¿Cuál es el área de un cuadrado?

Área del cuadrado = lado × lado Un cuadrado de 3 cm de lado.

¿Cómo sacar el área de un rectángulo con sus lados?

¿Cómo se calcula el Área de un rectángulo? – El área del rectángulo es igual a la base por la altura. Es decir, lado mayor por lado menor. ÁREA = BASE X ALTURA En muchos sitios encontraremos como a la altura se la denomina “h” y a la base “b.” En el ejemplo que se muestra en la primera imagen vemos como nos enfrentamos a un rectángulo cuya base, lado mayor es 18 cm y cuya altura, lado menor, es 12 cm.

¿Cómo se mide el área de un círculo?

El área de un círculo es pi multiplicado por el radio al cuadrado (A = π r²). Aprende cómo utilizar esta fórmula para calcular el área de un círculo cuando el diámetro está dado. Creado por Sal Khan y Monterey Institute for Technology and Education.

¿Cuál es el área y el perímetro?

Generalización de los procedimientos del cálculo del perímetro y del área

Generalización de los procedimientos del cálculo del perímetro y del área
Aprendizaje esperado: f ormula expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros y áreas) de figuras geométricas y verifica equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las figuras),
Énfasis : g eneralizar los procedimientos de cálculo del perímetro y área de las figuras por medio de la introducción de literales para representar las dimensiones de las figuras.
¿Qué vamos a aprender?

El perímetro es la medida del contorno de una figura poligonal que se obtiene al sumar sus lados y se mide en unidades lineales, como centímetros o metros.
El área es la medida de la superficie plana de una figura que se mide con unidades cuadradas, como centímetros cuadrados o metros cuadrados.
También sabemos que el área y el perímetro de una figura geométrica se obtienen a través de diferentes procesos y con diferentes fórmulas.
Veamos el siguiente problema para mostrarlo.

Analiza: si Bruno elabora manteles en forma de cuadrado de 4 metros de lado, para calcular el perímetro es necesario sumar los cuatro lados de la figura.
¿Y sólo sumando se puede encontrar el perímetro?

Para calcular el área, multiplica 4 metros por 4 metros, como lo indica la expresión, porque 4 metros es lo que mide por lado el cuadrado, así sabemos que el área del mantel será de 16 metros cuadrados.
En este caso, el perímetro y el área tienen la misma magnitud, pero diferentes unidades, porque, como ya dijimos, son propiedades diferentes.
Para elaborar manteles en forma rectangular, Bruno sabe también que esta figura tiene cuatro lados con dos pares de lados iguales.
De manera que, para conocer el perímetro de un rectángulo, hay que sumar la medida de cada uno de sus lados, b+d+b+d; considerando que esta figura tiene dos pares de lados iguales, esta expresión también se puede representar como 2b+2d, en donde “b” representa el largo o base del rectángulo, y “d” el ancho o alto.

Si Bruno decide hacer manteles en forma de rectángulo que midan 4 metros de largo y 2 metros de ancho, para calcular el perímetro se suman los cuatro lados de la figura.
También puedes sumar los productos 2 por 4 metros y 2 por 2 metros, y de esta manera sabemos que el perímetro del mantel tendrá 12 metros de longitud.
Como sabrás, para calcular el área se utiliza la expresión A=bxd, por esta razón multiplicamos la medida del largo (4 metros) por la medida del ancho (2 metros) y así sabemos que el área de un mantel de forma rectangular de 4 metros de largo y 2 metros de ancho es de 8 metros cuadrados.

¿Qué pasa si Bruno necesita hacer manteles en forma de triángulo equilátero?
Debe tomar en cuenta que se trata de una figura de tres lados iguales y, para calcular su perímetro, hay que sumar la medida de cada lado, esto es, b+b+b.
También puedes expresar el perímetro de la siguiente manera: 3b (el triple del valor de b), en donde la literal “b” representa la medida de lado de cualquier triángulo equilátero.
Respecto del área, recuerda que, en comparación con un rectángulo de la misma base y altura que el triángulo, éste siempre representará la mitad de su área; de esta forma, para calcular el área de un triángulo, se multiplica la base por la altura y el resultado se divide entre dos.
Este proceso se generaliza con la expresión que seguramente ya conocen: el área del triángulo es igual a base por altura sobre dos.
Si Bruno tiene pensado hacer una plantilla para elaborar manteles en forma de triángulo equilátero que midan 4 metros de lado, entonces puede sumar la medida de los tres lados del triángulo: 4+4+4, y al efectuar la suma obtenemos 12 metros, que corresponden a la medida del contorno o perímetro del mantel.
Es más eficiente si multiplicamos 3 por los 4 metros que mide cada lado, y también obtenemos 12 metros como resultado.

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Ahora ve qué sucede si Bruno necesita hacer manteles en forma de hexágono regular.
Como ya sabes, un hexágono regular es un polígono de 6 lados iguales y 6 ángulos interiores iguales.
¿Y cómo calculas el perímetro y el área de un hexágono?
Cualquier superficie plana de lados rectos como los polígonos, y en este caso, del hexágono regular, pueden dividirse en triángulos y así calcular su área como la suma de las áreas de dichos triángulos.
Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros; observa.
Al dividir el hexágono a partir del centro hacia sus vértices, obtenemos 6 triángulos iguales con igual medida de base y altura.

¿Y qué sucede con el área?
Hace un momento explicamos que un hexágono regular puede ser descompuesto en 6 triángulos con igual base y altura.

Una forma de calcular el área de un hexágono regular a partir de la descomposición en triángulos es sumar el área de los 6 triángulos obtenidos, o bien calcular el perímetro de la figura y multiplicar el resultado por la medida del apotema, dividiendo el producto obtenido entre dos.
Ahora Bruno sabe que con la expresión A=p(a)/2 (área es igual al perímetro por la apotema entre dos), es posible obtener el área de cualquier hexágono regular
Verifica que las expresiones antes mencionadas nos ayudan a calcular el perímetro y el área de un hexágono regular.

Si Bruno elabora un mantel en forma de hexágono que mida 4 metros de lado y tiene 3.5 metros de apotema.

Utiliza la expresión 6c para calcular el perímetro del mantel, esto es, multiplicar 6 lados por los 4 metros que tiene cada lado del hexágono; al efectuar la multiplicación obtienes 24 metros que corresponden al perímetro del mantel.
Esto puede parecer muy fácil, pero tengo una duda: ¿esta expresión también se aplica para el área?

Ahora pon en práctica lo que has aprendido con el siguiente problema. Bruno hizo los siguientes diseños para hacer algunos manteles de papel. Él dice que, si se respetan las medidas de éstos, se utilizará la misma cantidad de papel para cada uno, aunque sus formas sean diferentes. ¿Qué piensan de lo que dice Bruno? Puedes comenzar por analizar los diseños.

Sí ocupan la misma área, porque si observas los diseños, se ve que cada triángulo equivale a la mitad de un cuadrado.
Para estar seguros y seguras de lo que Bruno dice, es necesario comparar el área de las dos figuras.
No conocemos la medida del lado del cuadrado, pero se tomó como referencia el mismo tamaño para los dos diseños, porque están representados con la misma literal, lo que significa que se trata de la misma medida desconocida.
El primer diseño ocupa tres cuadrados, al igual que el segundo, porque para obtener los triángulos del segundo diseño, se requiere hacer algunos cortes que se acomodan para armar la figura del mantel.
A partir del análisis que has realizado, puedes concluir que Bruno tiene razón: si se respetan las medidas de cada uno de los diseños, se utiliza la misma cantidad de papel.
No importando el diseño, nos damos cuenta de que el área es la misma, porque las expresiones que la representan son equivalentes.
Te invitamos a poner a prueba tus conocimientos adquiridos resolviendo el nuevo reto que enfrenta Bruno.
Ahora Bruno ha decidido contribuir al cuidado del medio ambiente, tener un negocio socialmente responsable y comprometido con el cuidado del medio ambiente; por tal motivo, ha decidido hacer sus manteles con papel reciclado y, además, reducir la cantidad de papel empleado en su elaboración, esto con base en el nuevo diseño que producirá ahora.
Inicialmente el diseño se elaboraba con 5 cuadrados, posteriormente se realizaba con 3 y ahora los realizará con tan sólo 2 cuadrados, como se muestra a continuación.
¿Logrará Bruno reducir realmente la cantidad de papel que se utiliza para la elaboración de los manteles con sus nuevos diseños?
Depende de las medidas de los cuadrados que utilice Bruno.

Sabes que x representa cualquier medida para los tres diseños. Observa sus diseños.

Nota que tómo como referencia nuevamente cuadrados del mismo tamaño, porque representa la medida de lado con la misma literal “x”.
Quizá nos ayude a comprobarlo si calculamos el perímetro y el área de los diseños como lo hicimos en el problema anterior.
Comencemos por analizar el perímetro de cada diseño.
El primer mantel está compuesto por 5 cuadrados de lado “x”.
Para calcular el perímetro, se suman todos los lados de la figura, siendo el perímetro del diseño uno del mantel igual a la suma de 12 veces el valor que representa la literal “x”, o bien el producto de 12 por el valor de la literal “x”.
En el diseño dos del mantel, la medida de los lados es diferente porque se representa con la literal “y”.
Para calcular el perímetro, se suman todos los lados de la figura, y el perímetro del diseño dos del mantel es igual a la suma de 8 veces el valor que representa la literal “y”, o bien el producto de 8 por el valor de la literal “y”.
Por último, para calcular el perímetro del diseño tres del mantel, únicamente se suman cada uno de los lados de la figura, expresados como un medio de “x” y 2w; al efectuar las operaciones obtenemos la expresión 2x+8w, que representa el perímetro del mantel.

Entonces, la primera expresión y la segunda expresión en cada diseño, ¿representan lo mismo? Sí, ambas expresiones en cada diseño son equivalentes.

Ahora analiza el perímetro resultante de cada diseño con ayuda de la siguiente tabla: “Perímetro de figuras”.
Al comparar la expresión algebraica que representa el perímetro de cada diseño que Bruno elaboró, puedes notar que los tres resultados son diferentes, esto significa que las tres figuras tienen un perímetro distinto.
¿Qué representan las expresiones contenidas en la tabla en relación con los diseños del mantel?
Representan la medida del contorno de los manteles, es decir, el perímetro de cada diseño.

Para saber la cantidad de papel en metros cuadrados que necesita Bruno para elaborar los diseños de mantel, ¿qué necesitas calcular?, ¿área o perímetro?

Con lo que hemos visto, ahora lo que necesitamos calcular es el área, porque lo que buscamos es la medida de la superficie que ocupa cada diseño y ésta se da en metros cuadrados.
Atenta y atento a lo siguiente:
Si observas y analizas detenidamente el diseño número uno, está construido por 5 cuadrados, cuya medida del lado está representada por la literal “x”.
Para su elaboración, los cinco cuadrados se acomodan en forma de una cruz.
El diseño número 2 está compuesto por tres cuadrados, la medida de cada lado está expresada por la literal “x”; es decir que los cuadrados que se ocupan para este diseño y el anterior tienen la misma medida porque se representan con la misma literal.
En este diseño, dos de los cuadrados se cortan para dar la forma de estrella al mantel.
Por último, puedes ver que el diseño 3 se compone de 2 cuadrados del mismo tamaño que los cuadrados de los diseños anteriores, porque la medida de cada lado se representa con la literal “x”, pero, al igual que en el diseño dos, se hicieron cortes a las figuras originales para dar forma al mantel.
Sí, uno de los cuadrados se corta por la mitad, y los rectángulos que resultan se cortan en diagonal para obtener cuatro triángulos que se acomodan para dar forma al diseño del mantel.
Al comparar los tres diseños, y observar la cantidad de papel empleado en la elaboración de cada uno, podemos notar que Bruno logró disminuir la cantidad de papel.
Si se fuera a cubrir una mesa cuadrada de lado x, con lo que quedaría cubierta esa superficie, que es equis cuadrada, tendría cada diseño un faldón.

La primera pregunta que tiene José es: ¿qué forma tiene el terreno?
Como podrás notar, el terreno de José es el de color verde, al observarlo nos damos cuenta de que sus lados son iguales, en este caso, representados con la literal “x” (equis).
Sabes que el cuadrado es una figura geométrica que pertenece a los paralelogramos porque tiene cuatro lados que miden lo mismo y son paralelos dos a dos.
¿Recuerdas qué quiere decir dos a dos?
Que tiene dos lados paralelos e iguales entre sí, y los otros dos también son paralelos e iguales entre sí.
Además de los cuatro lados iguales, posee cuatro ángulos interiores que miden 90 grados, es decir, son ángulos rectos, y la suma de sus cuatro ángulos interiores es igual a 360 grados; entonces el terreno de José corresponde a la figura geométrica de un cuadrado porque cumple con todas estas características.
Al observar y analizar los terrenos que se encuentran junto al de José, identificados con color azul y amarillo, podemos notar que los de color azul corresponden a la figura del rectángulo porque sus lados son iguales dos a dos.

Recuerda que los rectángulos tienen dos lados opuestos paralelos que tienen la misma medida. Además, otra característica de los rectángulos es que sus ángulos son rectos.

¿Recuerdas a qué se refiere con tener ángulos rectos?
Se refiere a que un ángulo recto es igual a 90°.
Las figuras en color azul corresponden a rectángulos porque se encuentran compuestas por cuatro lados, de los cuales dos tienen una longitud y los dos restantes otra, y además forman cuatro ángulos rectos de 90°.
Para el caso de las figuras de color amarillo, corresponden a un cuadrado que tienen las mismas características, pero que, además, los cuatro lados del cuadrado miden lo mismo.

Al comprar los terrenos, ¿qué forma tendrá la granja?, ¿Sabes la respuesta?

Tendrá forma rectangular porque tendrá mayor longitud en su largo, comparado con la longitud del ancho.
Como podrás notar, el largo del terreno de la granja estará aumentado en tres unidades, mientras que en su ancho sólo estará excedido en una; esto es, el largo está representado por la expresión de “x” más tres, y el ancho, por la expresión “x” más uno.
¿Es posible calcular el perímetro del terreno verde?
Recuerda que el perímetro de una figura plana es la medida de su contorno, para el caso de la figura verde, que corresponde a un cuadrado, es posible expresar su perímetro como 4 equis, es decir, cuatro veces el valor del lado equis.

Entonces, para el caso del ancho, la primera expresión es equis más uno, ya que no hay términos semejantes que podamos reducir.
De acuerdo con la imagen, ¿qué valores pueden tener las medidas del terreno total?
El nuevo terreno tendrá de ancho equis más tres, y de largo, equis más uno, como se observa en la imagen.

¿Qué expresión permite calcular el área de cada terreno?
Depende de la forma de cada terreno, porque si observamos, hay terrenos cuadrados y rectangulares.
Por lo que, para poder ayudar a José, es necesario analizar cada una de las figuras y expresar sus medidas con la información que se proporciona en la imagen.
Representa a través de una tabla los datos que te permiten conocer la superficie de cada figura.

En segundo lugar, tenemos el rectángulo azul; el largo de la figura es equis, y su ancho corresponde a uno, la expresión algebraica que representa el área es el producto de equis por uno; al efectuar la multiplicación obtenemos como producto equis, que representa el área del rectángulo.
Ahora te toca: ¿cuál es el área del cuadrado amarillo?
Eso está muy fácil, en el cuadrado amarillo las medidas por lado son igual a uno, de manera que la expresión que representa el área se expresa como la multiplicación de uno por uno; al final se obtiene el área, que es igual a uno.
Otra manera de representar el área del terreno total de José es analizar la forma que tiene el terreno total, como es posible observar, corresponde a un rectángulo.

Para que José pueda saber la superficie de su terreno total, una vez adquiridos los terrenos, sólo necesitará sustituir el valor que representa la literal equis y efectuar las multiplicaciones correspondientes, y podrá hallar el valor del área total.
Analiza el siguiente problema:

Como te habrás dado cuenta, la figura que representa el campo de fútbol corresponde a un rectángulo, lo que significa que tiene dos lados iguales dos a dos, es decir, sus pares de lados paralelos son iguales. Para obtener el perímetro es necesario sumar los cuatro lados del campo de fútbol. A través de la tabla se muestran las expresiones que representan la suma de las medidas de cada lado, se realiza la reducción de términos semejantes hasta obtener la expresión algebraica que representa el perímetro del campo de futbol, siendo ésta cuatro equis más sesenta.

Con lo que has aprendido hoy, determina el valor del perímetro y del área del campo de fútbol si el ancho “x” tuviera un valor de 70 metros.
Ahora sabes que generalizar los procedimientos del cálculo del perímetro y del área de figuras geométricas, significa representar los procedimientos de resolución por medio de expresiones algebraicas o fórmulas.
Algunas de las expresiones que estudiamos son las siguientes.
Figura geométrica: cuadrado, cuya medida por lado es a.
Expresión para calcular su perímetro:
a+a+a+a=4ª
Expresión para calcular su área:
“a” cuadrada
Figura geométrica: rectángulo, la medida de su base es b y su altura mide d.
Expresión para calcular su perímetro:
d+b+b+d=2b+2d
Expresión para calcular su área:
Be por de
Figura geométrica: triángulo, la medida de su base es b y su altura mide h.
Figura geométrica: cuadrado, cuya medida por lado es a.
Expresión para calcular su perímetro:
a+a+a+a=4ª
Expresión para calcular su área:
“a” cuadrada
Figura geométrica: rectángulo, la medida de su base es b y su altura mide d.
Expresión para calcular su perímetro:
d+b+b+d=2b+2d
Expresión para calcular su área:
Be por de
Figura geométrica: triángulo, la medida de su base es b y su altura mide h.
Expresión para calcular su perímetro:
b+b+b=3b
Expresión para calcular su área:
Base por altura entre dos
¡Ahora tienen más herramientas para resolver este tipo de problemas!
El r eto de h oy:
Revisar lo aprendido en tu libro de Matemáticas de segundo grado y resuelve algunos de los ejercicios de tu libro de texto.
¡Buen trabajo!
Gracias por tu esfuerzo.
Para saber más:
Lecturas

https://www.conaliteg.sep.gob.mx/ : Generalización de los procedimientos del cálculo del perímetro y del área

¿Cómo se mide la altura de un triángulo?

¿Cómo encontrar la altura de un triángulo con sus lados? –

La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales (que no es la base) por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

Demostración:

¿Cuál es la fórmula para calcular el perimetro de un triángulo?

¿Cómo se calcula el área y perímetro de un triángulo ? – El Perímetro de un triángulo es igual a la suma de todos sus lados. Perímetro: Suma de sus tres lados. Si el triángulo es equilátero, como sus lados (l) son iguales, sería 3l. En el caso de que fuese Isósceles, dos lados iguales uno distinto, sería 2l+b. En muchos sitios encontraremos como a la altura se la denomina “h” y a la base “b.” En el ejemplo que se muestra en la primera imagen vemos como nos enfrentamos a un triángulo Isósceles, dos de sus lados son iguales y miden aproximadamente 16,16 cm. La base mide 12 cm. Por tanto, si nos disponemos a calcular el perímetro: P = suma de todos sus lados = 2l + b = 2.16, 16 + 12 = 44, 32 cm Y el área:

¿Cómo se mide el perímetro de un triángulo?

Perímetro de un triángulo. El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Sebastián Méndez